\documentclass{article}
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\parindent0em
\setlength{\textwidth}{18cm}
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\hoffset-3.5cm
\begin{document}
\Large
\begin{center}
    Zum Satz von Immerman-Szelepcz\'enyi
\end{center}
\textit{Gegeben}: 
\begin{minipage}[t]{14cm}
Graph $G = (V,E)$ mit $V = \{1,2,\ldots,n\}$ 
und Knoten $x\in V$ und $m \geq 0$
\end{minipage}

\bigskip

\textit{Problem}: 
\begin{minipage}[t]{14cm}
Berechnung von $\text{pn}(x,m)$,
der Anzahl der Knoten $y$ von $G$,
f\"ur die $\text{PATH}(x,y,m)$ gilt
\end{minipage}

\bigskip
\textit{Pr\"adikat}:
\[
\text{PATH}(x,y,m) :=
\hbox{es gibt in $G$ einen Pfad der L\"ange $\leq m$
von $x$ nach $y$}
\]
\textit{Tatsache}:
\begin{align*}
\text{PATH}(x,y,m)
&~\Leftrightarrow~
\exists z \left(
\text{PATH}(x,z,m-1) \wedge
\text{PATH}(z,y,1) \right)~~~(m > 0)\\[3mm]
\text{PATH}(x,y,1)
& ~\Leftrightarrow~
x=y \vee (x,y) \in E
\end{align*}


\bigskip


\textit{Idee}: 
\begin{quote}
um $\text{pn}(x,m)$ zu berechnen, wenn man $\text{pn}(x,m-1)$ kennt:
\begin{itemize}
\item[--]
alle $y \in V$ durchlaufen
\begin{itemize}
\item[--]
alle $z \in V$ durchlaufen
\begin{itemize}
\item[--]
durch Probekonstruktion (nichtdeterministisch!)
verifizieren, ob
\[
\text{PATH}(x,z,m-1) \wedge \text{PATH}(z,y,1)
\]
gilt 
\end{itemize}
\item[--]
dabei $\text{pn}(x,m-1)$ als Kontrolle daf\"ur benutzen,
das zu allen $z$ mit $\text{PATH}(x,z,m-1)$ tats\"achlich
ein verifizierender Pfad konstruiert wurde, d.h. dass alle
M\"oglichkeiten exploriert wurden --- wenn nicht: \texttt{fail}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{quote}
\end{document}